Homogenous Coordinates(图形学入门笔记 #1)

在坐标系中可以利用矩阵乘法来表示各种不同的线性变换,例如:缩放,旋转等。但是想要表示平移变换,只利用矩阵乘法会遇到困难。

假设想要把一个位于(x,y)的点平移到(x+t_x,y+t_y),应该进行的操作为

    \[\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\ 0 \\ 0\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}t_x \\ t_y\end{pmatrix}\]

齐次坐标(Homogenous Coordinates)的引入使我们可以更加方便地表示平移操作,对于一个在笛卡尔二维坐标系中的点(x,y),在齐次坐标系中表示为(x,y,1)。同样地,对于笛卡尔坐标系中的向量(x,y),在齐次坐标系中表示为(x,y,0)

我们尝试在齐次坐标系中表示平移操作,考虑上文中的例子,可以得到

    \[\begin{pmatrix}x+t_x \\ y+t_y \\ 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\ 0\ t_x \\ 0\ 1\ t_y \\ 0\ 0\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ 1\end{pmatrix}\]

    \[\begin{pmatrix}x \\ y \\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\ 0\ t_x \\ 0\ 1\ t_y \\ 0\ 0\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ 0\end{pmatrix}\]

从上面的式子可以看出,在齐次坐标中,实现了只通过矩阵乘法变换完成平移操作,同时在对于向量进行平行时保证了向量的平移不变性。

继续探究点与向量之间的运算,我们可以发现在齐次坐标系中,这些运算都是符合数学规律的,例如在齐次坐标下计算两个向量的减法,结果仍然是一个向量;计算两个点的减法,结果同样是一个向量;计算一个点加上一个向量,结果还是一个点。

而如果计算两个点的加法,我们会发现第三维得到了2。为了使运算有意义,我们对齐次坐标进行一个补充,即

    \[\begin{pmatrix}x \\ y \\ w\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x/w \\ y/w \\ 1\end{pmatrix}(w \neq 0)\]

那么两个点的加法得到的结果为一个点,且这个点是两个点连线的中点。

接下来我们将笛卡尔坐标下的操作在齐次坐标下表示:

缩放:

    \[S(s_x,s_y)= \begin{pmatrix}s_x\ 0\ 0 \\ 0\ s_y\ 0 \\ 0\ 0\ 1\end{pmatrix}\]

旋转:

    \[R(\alpha)= \begin{pmatrix}cos\alpha\ -sin\alpha\ 0 \\ sin\alpha\ \ \ cos\alpha\ \ 0 \\ 0\ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ 1\end{pmatrix}\]

平移:

    \[T(t_x,t_y)= \begin{pmatrix}1\ 0\ t_x \\ 0\ 1\ t_y \\ 0\ 0\ 1\end{pmatrix}\]

另外,齐次坐标下的逆变换同样对应矩阵的逆,同样不满足交换律。

三维笛卡尔坐标系下的点和向量也可以表示成齐次坐标:

3D Point : (x,y,z,1)^T

3D Vector : (x,y,z,0)^T

(x,y,z,w)^T=(x/w,y/w,z/w,1)^T

三维坐标下的一个任意变换可以表示为齐次坐标下的一个矩阵乘法,即:

    \[\begin{pmatrix}x' \\y' \\z' \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &b &c &t_x \\d &e &f &t_y \\g &h &i &t_z \\0 &0 &0 &1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\z \\1\end{pmatrix}\]

其中左上角的3\times 3表示线性变换,右上的1\times 3表示平移变换,最下面一行永远是0 0 0 1

对于这样的一个矩阵,永远是先进行线性变换,再进行平移操作。

(未完待续~)

【30天推歌挑战】把我分享给你听 #16

30天推歌挑战

从刚听粤语歌开始一直听到现在的《喜帖街》。这首歌是紧随着《给十年后的我》之后进入我的歌单的第二首粤语歌,是当时zcy推荐给我的。听过很多个版本的,还是最喜欢原唱谢安琪的版本。

谢安琪是一个有想法的歌手,早期她刚出道的时候走的风格较为小众,是《喜帖街》这一首让她一夜成名。

“忘掉种过的花,重新地出发,放弃理想吧”

喜帖街

这首歌在2008年一经发出,遍迅速霸占了各大榜单,成为了那一年的“年度之歌”。但是谢安琪并没有被这一夜之间的成名冲昏头脑,随后的一年,黄伟文为她作了一首《年度之歌》,其中的最后一句是这样的:

“回望昨天剧场深不见底,还是有几幕曾好好发挥。还愿我懂下台的美艺,鞠躬了就退位,起码得到敬礼。谁又妄想一曲一世,让人忠心到底。”

其实谢安琪是很能体会到成名的不容易的。听她的歌总会有一种气息不够的感觉,并不是她唱功的问题。谢安琪做过三次气胸手术,没有办法用力唱歌,这对于一个歌手来说是很致命的,但是谢安琪把她的不足变成了她的特点,变成了她自己的唱法,这中间的努力只有她自己清楚。

《喜帖街》确实称得上是粤语歌中的经典,无论是喜帖街本身,还是黄伟文的词,还是谢安琪的演绎,都是经典。这首歌的旋律,不论循环多少遍,都不会感觉到有一点厌倦。

谢安琪在这之后又由于生二胎暂时退出歌坛,再回来的时候选择了与麦浚龙进行合作,这两个不追求流量与名声的疯狂的音乐人的共事也为我们带来了很多优秀的作品,日后再谈。

【30天推歌挑战】把我分享给你听 #15

30天推歌挑战

Day15 一首你喜欢的由别的艺术家翻唱的歌

提到翻唱,就不得不提到张敬轩这个人了。其实说张敬轩的翻唱厉害,不如说他的live厉害。印象中张敬轩在live中翻车,应该只有和谢安琪合作的《钟无艳》,为了和谢的调保持一致强行用真声顶上去那一次。张敬轩在live中的表现大多好过原唱,我听他的很多歌也都是专挑live的版本。

张敬轩在《Dahlia2》这张专辑中加入了他的很多翻唱作品,这其中包括广为流传的《黄色大门》,《可惜我是水瓶座》,《好心分手》等作品。这张专辑的封面被zcy拿来当作qq头像,在他换成情头之前将近两年的时间里好像一直是这个,这个头像也在某次你画我猜的活动中被拿来进行了二次创作。

但是今天我想说的是张敬轩翻唱杨千嬅的《少女的祈祷》,2014年Hins Live in Passion。轩叔翻唱女生的歌是一绝,他的《降两度》专辑证明了这一点。轩叔的唱功不必多说,高音的技巧也很牛,更重要的是他的声音纯净,感情饱满。

轩叔《少女的祈祷》现场

坊间流传的说法是——杨千嬅的版本是《烈女的祈祷》,张智霖唱的是《少女祈祷的那个男人》,只有张敬轩唱的是《少女的祈祷》。《少女的祈祷》写的是在一辆公交车上,一位少女邂逅了一位令她心动的男孩,她知道男孩会在某一站下车,但是她幻想能够晚一点,让这段旅程长一点。少女彷徨不安的内心独白被林夕写在纸上,再由张敬轩的口道出,虽是男声演唱,却一点也不觉违和。

每次听到《少女的祈祷》这首歌,都会想到《暗战》中相似的情节。公交车上的恋爱,露水姻缘有始无终,但只有匆匆逝去才最美丽。

【30天推歌挑战】把我分享给你听 #14

30天推歌挑战

Day14 一首你想在婚礼上播的歌

说好不鸽的结果还是鸽了,中间差了好多天不好补,就先跳过,先把今天的写出来。

很坚定地选择了古巨基这一首《我与你》,这首歌描写的大概就是我理想中婚姻的样子吧。

古巨基是那个圈子中少见的专情的人。他与他的妻子经历了20多年的爱情长跑,最终在2014年结婚。这首歌便是他在结婚之日对于妻子的誓言。

这首歌由林夕作词,而林夕显然擅于把控整首歌的内容,没有一句华丽的辞藻,但是感情的真挚与充沛,从每一个字中流露。

多年携着手奔波至今

才明白这就是缘分

才成就更远大情感

誓约早跨过了时间

爱念没期限

只差补上神圣这一吻

人潮内升沉 尚有谁相衬

沿路像终生拍档在惶惑里找到终身信任

未变我恋人 便已似亲人

忘掉自哪天 动心

我 与你早注定结果

与你苦过甜蜜过亦试炼过

凭着爱又怕什么

我 与你一世未够多

与细水长流被岁月祝福的你我

嫌太习惯大可再热恋过

用上千亿刹那和你 铸造着名份

天应比我们更加兴奋

沿途遇风云 未靠谁福荫

同步像知己永远为明日理想争吵中慰问

上半世恋人 下半世亲人

忘掉自哪天 动心

我 与你早注定结果

与你苦过甜蜜过亦试炼过

凭着爱又怕什么

我 与你一世未够多

与细水长流被岁月祝福的你我

嫌太习惯大可再热恋过

幸有当初披星戴月那经过

有幸情人路上背着你穿梭

我 与你一世在拍拖

与你这长途伴侣没约定过

仍是会越爱越火

多 爱你一世未够多

爱到双鬓成白雪

如像初相识彼此再 热恋过

这首流传不太广的歌,我是在上大学之后偶然听到的。当我听懂歌词之后,瞬间有一种被击中的感觉。正如自己经常幻想未来的生活,幻想我的婚礼是何时,会是什么样的场景,更多的时候幻想身边还会不会是同一个人。

我想,如果我有幸能与她走到那个时候,那我们之间的关系,一定就如歌词中所写,在婚礼上播放,也再合适不过。反过来,如果我选择在我的婚礼上放这首歌,那么站在我对面对我说“我愿意”的那个人,一定会是她。这样看来,在婚礼上播放这首歌的意义就不只是歌词本身。我希望到那个时候,我也有“我与你早注定结果”这样坚定的信念。

认识姐姐到现在也有整十年了,这十年来,不论是孩童幼稚的玩笑,还是青春时期懵懂的誓言,我们从小学到初中到高中到大学,从同学到朋友到情侣,都踉踉跄跄地走过来了。我们刚刚度过500天的纪念日,感情也处在升温期,让我更有信心与你携手走向未来。

这首歌,你就当是我给你的承诺。

【30天推歌挑战】把我分享给你听 #7

30天推歌挑战

Day7 一首适合开车时听的歌

之前也说过,我坐车的时候听歌的习惯是从刚上初中的时候开始的。那时每天上学的路上都能听到车载CD中的奥斯卡金曲。一共三张光盘,每张光盘上18首歌,他们伴随了我整个初中,直到吉AV1325完成了他的使命,驶出了我的生活。

长春长大的朋友们都知道,坐车的时候,陪伴我们最长时间的一定是FM968,永远伴您领先跨出第一步。对于我来说,其次就应该是这54首歌。

我记不太得我与它的初次会面(应该是在车百电器里面?),当时我从英国回来,与父亲一同去挑光盘,我在英国听的歌,能想起来的有《Say you say me》,《Casablanca》,《Yesterday Once More》等等,就特意买了包含这些曲目的光盘。

我觉得这50多首歌,是没有办法割裂开的,如果让我在这里挑最具有代表性的一首,除了可能在后边单独拿出来说的歌之外,真的没有办法区分。时间长了也记不得具体有哪些歌,其中第二章光盘听得比较多能记得住,但是另两张真的忘了太多了,有时间尽量去找一下然后发出来,记忆中是按照年份来的,但是在网上没有搜到十分匹配的结果,或许并不是连续的?

【这里有一个留坑代填的歌单】

说来还是稍稍跑了一下题,如果让我设想开车的时候听的歌,我感觉不应该是现在歌单里的风格,应该要那种欢快的,或者激昂的,至少不会致人困倦的吧。

至于适合开车的时候听的歌,或许等到我真正能开车了的那一天,才能给出一个比较好答案吧。

【30天推歌挑战】把我分享给你听 #6

30天推歌挑战

Day6 一首让你想尽情跳舞的歌

这个题目对我来说偏难,原因是我听歌的时候更希望进入一个安静的状态,因此我的歌单里很少会出现比较动感的歌。尤其是这一年以来听张敬轩听得多了,很难有跳舞的冲动,反而是高中的时候听的歌旋律更轻快些。

找了很久找到了一首哥哥的《monica》。这首歌在旋律上确实很有感染力,但很可惜的是他并没有出现在我的歌单之中。

最早开始听粤语的时候,会听一些张国荣的歌,也有一些喜欢的,比如《左右手》,再比如《玻璃之情》。但是对于他的大部分歌曲,还是不太能欣赏得来。可能是因为年龄的问题,听比较古早的粤语歌的时候,常常会产生与“我的听歌喜好不符”的想法,其中以张国荣和梅艳芳为首。我很少去特意找那个年代的歌听,更多的是被身边的人种草。

就像《monica》,初次听到也是zcy演绎的KTV版本,后来就没怎么听过。

这个选题确实对我来说十分困难,为了写出这寥寥数语我已经拖更三天了。算是勉强推荐了一首不是很想推荐的歌,就这样吧,以后还是尽量做到不断更。

【30天推歌挑战】把我分享给你听 #5

Day5 一首需要调大音量放的歌

逼着自己非要选一首出来的话,会选择杨千嬅的《再见二丁目》。

已经连着两天推杨千嬅的歌了,但我其实并没有特别喜欢她,也不是很经常听她的歌。说到《再见二丁目》,我第一时间想到的其实是林夕。

一个有趣的事实是,在我喜欢上粤语歌手之前,我先喜欢上的是两位粤语词作家:黄伟文和林夕。

对黄伟文的喜欢,是从《喜帖街》中开始,对林夕的喜欢,是从《再见二丁目》开始。

我记得在我开始喜欢黄伟文的时候,我在群里发了一句类似于“我觉得黄伟文的词真的厉害”的话,当时zcy回了我一句“林夕更nb”。

《再见二丁目》 副歌

《再见二丁目》绝对算是林夕的经典之作,他的那一次日本之旅诞生了好几部优秀的作品,他的学生林若宁是这样评价《再见二丁目》的词的:“我和老爷称‘再见二丁目’这种写作手法叫‘出外景’,要写景写得实在并不困难,但要令一棵柏树都有感情就殊不轻松…自此之后,我每次写‘出外景’都会借二丁目对照一下看自己是否合格”。但可惜的是,若按林若宁这句话的标准来评判,那他就鲜有合格之作了。关于林若宁以及他的作品,有机会再说。

我将再见二丁目中“满街脚步突然静了,满天柏树突然没有动摇”这一句词评为我第二喜欢的一句歌词,至于最中意的一句,当属黄霑先生的“沧海一声笑,滔滔两岸潮”。这是真正做到寓情于景而不留痕迹的佳作。

每次听到这一句,即整首歌的第一句,我便有一种隔绝外界的所有声音的冲动,这也是我将这首歌作为“想要调大音量播放的歌”的原因,每次听到,都想不受干扰,完全地沉浸在旋律之中,便不自觉调大音量。

另一个让我想要调大音量的原因是杨千嬅嗓音的独到之处。作为一个气息不足的歌手,杨千嬅的live的质量一般不高,这一点与擅长live超过原唱的张敬轩正好相反。因此听杨千嬅的歌,最好是原唱。虽然如此,但杨千嬅的歌总是充满感情,在这首歌之中,她的吐字有一种气感,仿佛声音介于虚实之间,不论怎样放大音量,都不会觉得吵。

林夕写这首词的动机,源于他与友人黄耀明在东京的一段经历。据说在看完演唱会之后,林夕单独约黄耀明出来,但是黄耀明失约,林夕便将这段经历写作歌词流传下来。

林夕字传2

林若宁曾经评价:“个人私下对号入座,认定《再见二丁目》,《约定》,《下一站天国》是林夕给他自己的情歌三部曲。”具有如此重要意义的《再见二丁目》也被林夕选入《林夕字传2》的四十八首歌里面,在书里面,林夕字批: 多年以后,终于明白二丁目是写快乐的玄奥,黄生却说是写自爱,距离何其远,明白一个人何其难。正如很多人问过我二丁目是哪条街的二丁目,知者自知 。

其实我喜欢这一些港星的原因,其中一个方面是因为他们的真实,他们不像如今内地的一些歌手,经过了经纪公司精致的包装。听他们的歌,读他们的作品,正如了解他们的为人,倾听他们的故事,而他们本身也不拒绝将真实的自己展现出来。这些人,多多少少都有自己的“不太正面”的故事,包括黄霑的“黄”,包括林夕的抑郁,疑似同性恋的传闻。

我常说自己不追星,其实我敬佩某些人,但我从不敬佩一个人的所有方面。对于林夕,他作为一个词作家进入我的生活,我便只欣赏他作词水平的精湛,至于他的种种传闻,不会使我对他的印象有丝毫的改变。因此对于他的那些故事,我也没有专门去了解,自然也不知道,《再见二丁目》背后真正的故事,正如林夕本人所说,知者自知,对于我这种“不想知”的人,唯赞叹歌词的每妙或许就够了。

【30天推歌挑战】把我分享给你听 #4

Day4 一首让你想起你宁愿忘记的人的歌

从3号晚上就开始想一首能符合要求的歌,但是直到写这句话的时候,还是不能想到一首能与这个题目有一点点关系的歌。

我很庆幸我不曾有这样的一段经历,让我宁愿忘记却忘不掉,我深信那一定会是痛苦的。我并不是一个爱憎分明的人,从小到大我身边能让我讨厌到想要忘记的人应该寥寥无几,即便有,可能已经想不起来了,更不用说找出一首与他相关的歌。

我试图把这个题目理解成“宁愿忘掉某个时间的自己”,我确实是一个内心敏感的人,回忆之前的事的时候,也确实对于自己的审视大于对别人,不想面对过去发生的一些事情。好在我在成长的过程中心理是完全健康的,我认为过去所有的经历构成了现在的我自己,我不能只保留那些愉快,抹除掉不开心的痕迹,因此还是没有办法找到这样的一首歌。

无奈之下,我选择了从歌词本身所表达的内容这一仅剩的角度,来说一说最近刚刚听到过的一首歌:杨千嬅的《小城大事》。

这首与电影同名的歌曲,讲述了一位女士的另一半失忆,喜欢上了另外一个人,留下女主自己承受悲伤的故事。我的歌单里有太多的歌曲写分手,写在感情中受到伤害,但是这一首歌不一样,相比于被伤害,这种谁都没有错的悲剧更加意难平。男主换上失忆,并不是他的错,但是感情从此无疾而终,令人无奈。

“青春仿佛因我爱你开始 但却令我看破爱这个字”

我第一次注意到这首歌,是因为它的第一句“青春仿佛因我爱你开始”,但是当我了解这首歌背后的故事之后,就没有办法再用欢快的心情去欣赏了。孩子还小,不太听得懂歌词,不太捉摸得透感情,他希望他永远都不要明白…

【30天推歌挑战】把我分享给你听 #3

Day3 一首会让你想起夏天的歌

我听歌的喜好,从一开始的英文歌,过渡到现在的粤语歌,中间经历了大致三年的转换期。在初中的最后一年,我们家换了车,自然也换掉了车载的CD,因此我听英文歌的渠道断了。在那一年里,我只有在看中国好声音的时候,才能听到歌。

上高中之后,就开始了日复一日的机房生活。机房按道理是一个容易接触到歌曲的地方,毕竟可以拥有自己的电脑。但是我在高一将近一年的时间里都没有耳机,因此没有听歌。高一下学期,我购买了我的第一个耳机,并开始了我高中之后的听歌经历。

刚买来耳机的时候,听到了YuhangQ在全民K歌里唱了一首毛不易的《盛夏》。YuhangQ学长唱歌很好听,也或许是因为我的恶搞,我将他的作品循环播放了三天,然后又去听了毛不易的原唱版本。

在那之前,听歌并不能算是我的爱好之一。我没有主动听歌的需求,也没有追过哪个歌星,我所有听到的歌,喜欢听的歌,只是因为它们在我的生活中重复地出现。我听《盛夏》这首歌,也是由于我在拥有耳机之后,并没有明确想听哪些歌。碰巧在这个时间,《盛夏》出现在了我的生活里,被我选中,被我留下,成为了我QQ音乐第一个歌单里的第一首歌,成为了我真正将听歌当作爱好的开始。

毛不易 《盛夏》

毛不易的歌对于我这种音域条件有限的人有一种天然的亲和力,因为它没有我无法驾驭的高音,在后来与朋友们去KTV的时候,我常常会点唱这首歌。

至于歌里所描写的夏天,我是不太能产生共鸣的,歌里所使用的意象仿佛理我比较远。这首歌对于我来说,特殊意义在于它标识着一段新的旅程的开始。不太符合这个主题的一点是,这首歌并不能让我想到夏天。但是无论如何它的名字是《盛夏》,我也确实是在夏天听到的这首歌,也不能算是完全与题目无关,选择它的原因,还是它的意义过于特殊。